คณิตศาสตร์
สุทัศน์ ยกส้าน
คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับ
โครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์
และสัญกรณ์คณิตศาสตร์
เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้าง,
การเปลี่ยนแปลง, และปริภูมิ กล่าวคร่าวๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ
"รูปร่างและจำนวน." เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง
บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์.
คำว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (การนับ หรือ
คำนวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า
การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ.
คำนี้ตรงกับคำภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคำภาษากรีก (mathema) แปลว่า
"วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน" และคำว่า (mathematiks) แปลว่า
"รักที่จะเรียนรู้". ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า math ส่วนประเทศอื่นๆ
ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths.
ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ
ผ่านทางการวิจัยและการประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมืออันหนึ่งของวิทยาศาสตร์
อย่างไรก็ตาม
การคิดค้นทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีเป้าหมายอยู่ที่การนำไปใช้ทางวิทยาศาสตร์
โครงสร้างต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพิจารณานั้น
มักจะมีต้นกำเนิดจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์
และเศรษฐศาสตร์. ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน
ยังเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และทฤษฎีการสื่อสาร
อีกด้วย.
เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์
ซึ่งทำให้กิจกรรมทุกอย่างกระทำผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน
เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่า
เป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยำและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ
ผ่านทางศัพท์และไวยากรณ์บางอย่าง
สำหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม.
ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง
ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์.
คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆ
จากโลกภายนอก. นักคณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท
สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้
อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม
หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน.
นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทำงานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้น
โดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ
มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนำไปประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี. เอช. ฮาร์ดี
ที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ A Mathematician's Apology); แรงผลักดันในการทำงานเช่นนี้
มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนักปรัชญาได้ประสบ และเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้.
อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas
and Opinions ของเขา.
องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา
หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขาคณิตศาสตร์
ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ สถิติศาสตร์ และแคลคูลัส
เป็นหลักสูตรแกนในการศึกษาขั้นพื้นฐาน
แม้ว่าจะได้มีการพัฒนาและขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี
สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่าเป็นสาขาวิชาเดี่ยว
ที่มีลักษณะแตกต่างจากสาขาอื่นๆ
ช่วงปี 1000-1500
เป็นระยะเวลาที่ยุโรปกำลังตกอยู่ในยุคมืด เพราะภูมิปัญญาโบราณต่างๆ ถูกทอดทิ้ง
และอารยธรรมตกต่ำ แต่ความสนใจในวิทยาการด้านคณิตศาสตร์ก็ยังบังเกิดขึ้นอีกคำรบหนึ่ง
เมื่อ Gilbert แห่ง Aurillac (พ.ศ. 1481-1546)
นำเลขอาหรับมาใช้ในวงการวิชาการของยุโรป และ Fibonacci แห่งเมือง Pisa
ในอิตาลีได้ใช้วิธีการคำนวณเลขของชาวอาหรับในการเรียบเรียงหนังสือชื่อ Liber a baci
ซึ่งแปลว่า ตำราคำนวณในปี พ.ศ. 1745
หนังสือเล่มนี้มีโจทย์คณิตศาสตร์และพีชคณิตมากมาย และมีลำดับ Fibonacci (Fibonacci
sequence) ด้วย ซึ่งลำดับนี้คือ ชุดเลข 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
โดยตั้งแต่จำนวนที่ 3 ไปเป็นเลขที่ได้จากการรวมเลข 2 ตัวหน้าที่อยู่ติดมัน เช่น 2 =
1+1, 5 = 2+3 และ 34 = 13+21 เป็นต้น
เมื่อถึงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา (renaissance)
ซึ่งเป็นเวลาที่ยุโรปมีการตื่นตัวทางวิชาการมาก เพราะมีการจัดตั้งมหาวิทยาลัย
มีการประดิษฐ์เครื่องพิมพ์และมีการแปลตำราอาหรับเป็นภาษาละติน เช่น ในปี 1631
ได้มีการสร้างมหาวิทยาลัยขึ้นเป็นครั้งแรกที่เมือง Bologna
ในอิตาลีให้นักศึกษาเรียนไวยากรณ์ ตรรกวิทยา เลขคณิต เรขาคณิต ดาราศาสตร์ และดนตรี
ส่วนตำราที่ใช้คือ Elements ของ Euclid และ Almagest ของ Ptolemy
ส่วนการประดิษฐ์เครื่องพิมพ์ในปี พ.ศ. 1983 โดย Johann Gutenbery
นั้นก็ได้ทำให้ผลงานวิชาการต่างๆ
แพร่สู่สังคมได้อย่างกว้างขวางและรวดเร็วและนักศึกษาคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น
ต่างก็ได้อ่านตำราชื่อ Summa de arithmetica geometrica, proportioni et
proportionalita ของ Luca Pacioli ซึ่งหนา 600 หน้ากันทุกคน
การรู้จักประดิษฐ์เครื่องพิมพ์
จึงทำให้วงการคณิตศาสตร์มีมาตรฐานการใช้สัญลักษณ์ เช่น + - เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ.
2032 ตามที่ Johann Widmanna เสนอ และในปี พ.ศ. 2100 Robert Record
ก็เป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกที่เสนอใช้เครื่องหมาย = แสดงการเท่ากัน ส่วนเครื่องหมาย X
และ ? นั้น William Oughtred และ John Pell คือผู้ที่นำมาใช้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ.
2174 และ 2211 ตามลำดับ และในหนังสือชื่อ De thiende (ที่สิบ) ของ Simon Stevin
ก็ได้มีการใช้ทศนิยมเป็นครั้งแรก ส่วนตำราของ Johan de Witt ชาวเนเธอร์แลนด์
ที่ชื่อ Elementa curvarum linearum
ก็มีการแสดงวิธีคำนวณแบบเรขาคณิตวิเคราะห์เป็นครั้งแรก
ในปี พ.ศ. 2157 นักคณิตศาสตร์ชาวสกอตชื่อ John Napier ได้นำเรื่อง
logarithm มาใช้ในการคำนวณเป็นครั้งแรก
และเทคนิคนี้ได้ทำให้เกิดอุปกรณ์คำนวณซึ่งเรียกว่า slide rule ในปี พ.ศ. 2173
ทำให้แทบทุกคนในวงการวิชาการสมัยนั้น หันมาใช้อุปกรณ์นี้เป็นเวลานานร่วม 300 ปี
จนกระทั่งถึงยุคคอมพิวเตอร์ที่ทุกคนหันมาใช้ pocket calculator (pc) แทน
ในสมัยศตวรรษที่ 22 ประเทศฝรั่งเศสมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมากมายเช่น
Rene Desceutes, Pierre de Fermat และ Blaise Pascal โดยเฉพาะหนังสือชื่อ Discours
de la methode ที่ Reni Descartes เรียบเรียงนั้น
ได้มีการนำพีชคณิตมาใช้ในการศึกษาเรขาคณิตเป็นครั้งแรก
และมีการวิเคราะห์สมการของพาราโบลา วงรี และไฮเฟอร์โบลาด้วย ส่วน Pierre de Fermat
นั้น ก็สนใจ xn+yn ทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ที่ว่า หากมีสมการ xn +
yn = zn แล้วเราจะไม่สามารถหาเลข x, y, z ที่เป็นจำนวนเต็มมาแทนในสมการได้ ถ้า n
มีค่ามากกว่า 2 ก็ได้รับการพิสูจน์ว่า จริง โดย Andrew Wiles ในปี 2538 Blaise
Pascal เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอีกท่านหนึ่งที่มีผลงานด้านคณิตศาสตร์มากมาย
เขาศึกษาโค้ง cycloid ซึ่งเป็นทางเดินของจุดๆ
หนึ่งบนเส้นรอบวงของวงกลมที่กลิ้งไปบนพื้นราบโดยไม่ไกล
และสร้างทฤษฎีของความเป็นไปได้ (probability)
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ในช่วงเวลานี้ได้พุ่งสูงสุดเมื่อ Isaac Newton เรียบเรียง Principia mathematica
ในปี พ.ศ. 2230 โดย Newton
ได้คิดสร้างวิชาแคลคูลัสขึ้นมาอธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ ฯลฯ
ถึงแม้ Newton จะอ้างว่าเขาสร้างวิชาแคลคูลัสขึ้นมาเป็นคนแรก แต่ gottfred Wilhelm
Leibniz ก็เป็นบุคคลแรกที่ได้ตีพิมพ์เรื่องนี้ และสัญลักษณ์ต่างๆ ที่ Leibniz
ใช้เช่น ? dx นั้น นักคณิตศาสตร์ก็ยังคงใช้กันมาจนทุกวันนี้
แต่ถ้าเราจะนับผลงานกันแล้ว Leonard Euler
นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสก็ดูจะเป็นคนที่มีผลงานมากที่สุด เพราะเขาคือผู้ใช้สัญลักษณ์ e
(= 2.718...) i(=? -1), ? (=ผลบวก) และ ? (n? ) (ฟังก์ชันของ x) เป็นคนแรก
นอกจากนี้ Eules ก็ยังมีผลงานด้านสมการอนุพันธ์
ทฤษฎีจำนวนและสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติกับฟังก์ชัน ex
ponential คือ e i?) = cos? + i sin? ด้วย
การปฏิวัติในฝรั่งเศส และการขึ้นครองอำนาจของ Napoleon Bonaparte (พ.ศ.
2312-2364) ได้ทำให้คณิตศาสตร์รุ่งโรจน์มาก เพราะ Napoleon ทรงสนพระทัยคณิตศาสตร์
การจัดตั้ง Ecole Polytechnique ขึ้นที่ปารีสได้
ทำให้สถาบันมีนักคณิตศาสตร์ระดับเยี่ยมเช่น Laplace, Lagrange และ Cauchy
มาฝึกสอนนิสิตและวิจัยหลายคน
Carl Friedrich Gauss (พ.ศ. 2320-2398)
เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของโลก
เขามีผลงานมากมายจำนวนเชิงซ้อน (a+bi โดยที่ i2 = -1)
และยังเป็นผู้ที่สามารถสร้างรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าได้
โดยใช้วงเวียนกับไม้บรรทัดเท่านั้นอีกด้วย
กษัตริย์ Oscar ที่ 2 แห่งสวีเดน และนอร์เวย์ (พ.ศ. 2372-2450)
เป็นประมุขของประเทศที่สนใจคณิตศาสตร์มาก เมื่อพระองค์ทรงมีพระชนมายุครบ 5 รอบ
พระองค์ได้ทรงจัดให้มีการประกวดผลงานทางคณิตศาสตร์ขึ้น
และผู้พิชิตรางวัลในครั้งนั้นคือ Henri Poincare
ซึ่งได้วิเคราะห์การเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ โลกและดวงจันทร์อย่างถูกต้อง Poincare
เป็นนักคณิตศาสตร์ที่เกือบพบทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษก่อน Einstein Bertrand Russell
เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อีกคนหนึ่งแห่งศตวรรษที่ 25 เขาคือผู้คิดปัญหา Russell
paradox ในปี 2445 ซึ่งกล่าวว่า ในหมู่บ้านแห่งหนึ่งมีช่างตัดผม
ผู้ที่ตัดผมให้ทุกคนที่ตัดผมให้ตนเองไม่ได้ ถามว่า ใครตัดผมให้ช่างตัดผมคนนั้น
Srinivasa Ramanujan เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียที่ยิ่งใหญ่อีกคนหนึ่ง
ซึ่งมีผลงานด้านทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์ แต่ได้เสียชีวิต ขณะที่มีอายุน้อยเพียง
32 ปี และในระหว่างที่นอนพักในโรงพยาบาลนั้น G.H. Hardy แห่งมหาวิทยาลัย Cambridge
ไปเยี่ยมและเอ่ยบอก Ramanujan ว่า รถแท็กซี่ที่เขาเดินทางมานั้น มีเลขทะเบียนรถ
1729 ซึ่งไม่น่าสนใจเลย แต่ Ramanujan กลับตอบว่า 1729 เป็นเลขที่น่าสนใจมาก เพราะ
1729 = 103 + 93 และ = 13 +123
ปี พ.ศ. 2435 อันเป็นปีครบ 400 แห่งการพบทวีปอเมริกาของ Columbus
บรรดานักคณิตศาสตร์ได้มีการประชุมเป็นครั้งแรกที่ Chicago และตั้งชื่อการประชุมว่า
World Congress of Mathematics การประชุมคราวนั้น มีผู้เข้าประชุม 45 คน
แต่เมื่อถึงวันนี้ ทุกครั้งที่มีการประชุม International Congresses of Mathematics
จะมีผู้เข้าร่วมประชุมหลายพันคนจากทั่วโลก และเมื่อ 2 ปีก่อนนี้
วงการคณิตศาสตร์มีการจัดตั้งรางวัล Abel ซึ่งเทียบเท่ารางวัลโนเบลทางคณิตศาสตร์ขึ้น
นอกจากนี้ก็มีการมอบเหรียญ Fields ให้แก่นักคณิตศาสตร์ที่มีผลงานโดดเด่น
และมีอายุน้อยกว่า 35 ปี ทุก 4 ปีด้วย
ณ วันนี้คณิตศาสตร์ได้เข้ามามีบทบาทในการอธิบายธรรมชาติ
ตั้งแต่รูปทรงของดอกทานตะวัน ผลึก เกล็ดหิมะ เกม คอมพิวเตอร์ ฯลฯ
จนกระทั่งรูปทรงต่างๆ ทางศิลปะ และจะมีบทบาทมากขึ้นๆ อีกในอนาคต
ทั้งนี้คงเป็นเพราะพระเจ้าเป็นนักคณิตศาสตร์ดังที่ Galileo คิด
อ่านต่อ >>> เส้นเวลาของคณิตศาสตร์ >>>
